פרק 8 – רציפות במידה שווה
500₪ לחצי שנה
שיעורים מתוך הפרק
במתמטיקה, חלק ניכר מהעיסוק הוא טיפול בפונקציות, כאשר המטרה שלנו היא להגדיר תכונות שונות שאותן פונקציות מקיימות. אחת התכונות החשובות ביותר של פונקציה, אם לא החשובה מכולן היא רציפות. תכונת הרציפות מאפשרת לנו ללמוד די הרבה על הפונקציה, עד כדי כך שקיימות הגדרות שונות שמרחיבות את מושג הרציפות. כאן נספר לכם על אחת ההגדרות הללו – רציפות במידה שווה.
רציפות כללית
מושג הרציפות הוא אחד המושגים הכי חשובים באנליזה מתמטית. עוד בלי להיכנס להגדרה הפורמלית שלו, מושג הרציפות נועד לתאר את ההתנהגות של הפונקציה, ולמעשה גם את השינוי שלה. ברגע שפונקציה רציפה זה אומר שבאופן מקומי השינויים שחלים בה הם שינויים די מינוריים.
באופן פורמלי פונקציה תיקרא רציפה בתחום מסוים אם לכל סביבה של נקודה בתמונה, קיימת סביבה אחרת בתחום ההגדרה של אותה נקודה, כך שהערך של כל נקודה ששייכת לאותה סביבה בתחום ההגדרה שייך לאותה סביבה גם ביחס לתמונה. ההגדרה הזו היא למעשה תוצר של הגדרת הגבול הפורמלית שלומדים בקורסי אנליזה.
פונקציה רציפה במידה שווה
בעוד שרציפות רגילה היא תכונה של נקודה מסוימת בקטע או בקבוצה קומפקטית, רציפות במידה שווה היא תכונה שמתקיימת לקטע או לקבוצה קומפקטית. פונקציה תיקרא רציפה במידה שווה אם בקבוצה קומפקטית, לכל סביבה בתמונה, קיימת סביבה בתחום ההגדרה כך שנקודות שנמצאות באותה סביבה בתחום ההגדרה מגיעות לאותה סביבה בתמונה. נשים לב שמה שמייחד את ההגדרה הזו הוא שהתכונה היא לכל הקטע, ולא ביחס לנקודה מסוימת. מכך נובע שרציפות במידה שווה גוררת רציפות.
תנאים לכך שפונקציה תהיה רציפה במידה שווה
יש מספר תנאים שאם הם מתקיימים נוכל לדעת בלי לבדוק שהפונקציה אכן רציפה במידה שווה. המשפט הראשון הוא כנראה החשוב ביותר בתחום הזה והוא נקרא משפט קנטור – היינה. המשפט אומר שכל פונקציה רציפה בקטע סגור, או בהכללה גדולה יותר בקבוצה קומפקטית היא פונקציה רציפה במידה שווה.
מהמשפט הזה נובעת טענה נוספת לפיה פונקציה מחזורית שרציפה על כל הישר הממשי היא פונקציה רציפה במידה שווה. שתי הפונקציות שעבורן הטענה הזו משמשת לעיתים קרובות הן סינוס וקוסינוס, פונקציות רציפות ומחזוריות על כל הישר הממשי.
לסיום, איך נוכל להבין טוב יותר מהי רציפות במידה שווה
כפי שהספקתם להבין, מושגי הרציפות ובתוכם כמובן גם המושג של רציפות במידה שווה אלו לא מושגים אינטואיטיביים שקל להבין. כל אחד מהמושגים הללו הוא אבן יסודי של אנליזה מתמטית, כך שבתור סטודנטים למקצועות מדעיים אתם הולכים להיתקל בהם על בסיס קבוע. כדי להבטיח שתוכלו להתמודד בצורה טובה עם אותם מושגים כמו גם עם יתר מושגי האנליזה, ההמלצה שלנו היא לקחת קורס של ‘הדרך אל התואר’ שיעזור לכם להתמודד טוב יותר עם אותם מושגים.