פרק 4 – גבולות של פונקציות 

גבול של פונקציה – איך הכל התחיל

עוד לפני שמדברים על מושג הגבול עצמו וכיצד לגשת אליו, חשוב להבין מה המוטיבציה הבסיסית לעבודה עם מושג הגבול. כבר בימי קדם, מתמטיקאים הבינו שלא כל ערך שאותו אנחנו ורואים בטבע יכול להיות מוגדר בצורה מדויקת. עם זאת, גם לערכים שלא מוגדרים בצורה מדויקת ישנה חשיבות לא קטנה, מה שייצר מוטיבציה ליצור קירוב לאותם ערכים. הקירוב הזה נעשה בצורות שונות, כאשר ככל שהעולם התקדם כך הוא נעשה מדויקת יותר ויותר. שיא הקירוב נעשה באמצעות מושג שנקרא “גבול” ועליו אנחנו הולכים לדבר.

שתי אפשרויות הגדרה

הגדרת גבולות של פונקציה נעשתה באירופה לפני בערך כ-200 שנה והיא ניתנה בשתי דרכים. חשוב לציין ששתי הדרכים הללו שקולות, כך שקיום של גבול לפי ההגדרה הראשונה גורר קיום גבול לפי ההגדרה השנייה ולהפך. את ההוכחה לשקילות שבין ההגדרות רואים כבר בקורס הבסיסי ביותר בחשבון אינפיניטסימלי – התחום שבו נחקר מושג הגבול בצורה עמוקה.

1. הגדרת הגבול לפי אפסילון דלתא: האפשרות הראשונה להגדיר גבול של פונקציה היא להסתכל על סביבה של נקודה ולראות מה טווח הערכים שהסביבה הזו מקבלת. כך אנחנו מקבלים חסמים על הערכים המקסימליים והמינימליים של הפונקציה בסביבה מסוימת, גם אם בנקודה עצמה אנחנו לא בדיוק יודעים מה הערך. יתר על כן, לפי ההגדרה הזו קל לראות מה רמת הסטייה של הפונקציה כאשר מזיזים בצורה מינורית את הערכים שהיא מקבלת סביב נקודה מסוימת. הסיבה שההגדרה נקראת כך היא שדלתא הוא תיאור לגודל של סביבת הערכים ואפסילון הוא תיאור לסביבת התוצאות שהפונקציה מייצרת.
2. הגדרת הגבול לפי היינה: הגדרה אחרת נעשית באמצעות סדרות. המבט הוא לא על סביבה של נקודה אלא על כל הסדרות שמתכנסות לנקודה מסוימת, ולאחר מכן בדיקה של הערכים אותם הפונקציה נותנת לכל אותן סדרות שמספיק קרובות לנקודה שאותה בוחנים.

כך תגיעו מוכנים יותר לתואר

מושג הגבול הוא רק אחד המושגים שבהם תתקלו במהלך קורסי המתמטיקה בשנה הראשונה לתואר. אם אתם רוצים להגיע מוכנים יותר ולא להישאר מאחור במהלך הקורסים, כל מה שאתם צריכים לעשות זה פשוט להגיע אל קורס אונליין של הדרך אל התואר שיעזרו לכם להבין כבר מהרגע הראשון את המושגים המורכבים של המתמטיקה באקדמיה.