צורת ז’ורדן

אחד התחומים המרכזיים במתמטיקה, במיוחד באקדמיה ובמקצועות יישומיים הוא אלגברה לינארית. באלגברה לינארית חוקרים משוואות והדרך לפתור אותן, כאשר האובייקט המרכזי שמשמש למטרה הזו הוא מטריצה. סוג מסוים של מטריצה היא מטריצה בצורת ז’ורדן שמאפשרת לנו לבצע חישובים בצורה קלה ומהירה. כאן ננסה לתת לכם טעימה על קצה המזלג מה בדיוק החשיבות שלה.

קצת על מטריצות

עוד לפני שנדבר על צורת ז’ורדן, חשוב להבין את האובייקט הבסיסי שעליו היא עובדת – המטריצה. מטריצה היא פשוט טבלה של מספרים, אולם למעשה היא מייצגת הרבה יותר מזה. מטריצה היא אובייקט שאפשר לבצע פעולות עליו ואיתו, לייצג ערכים ועוד שלל שימושים. למעשה, כמעט בכל תחום שבו משתמשים במתמטיקה יישומית יש למטריצות תפקיד מרכזי, כאשר המקום המרכזי שבו אפשר לראות אותן הוא בכל התחום של למידת מכונה, למידה עמוקה ובינה מלאכותית.

באופן יותר עמוק, מטריצה מייצגת העתקה לינארית. העתקה לינארית היא פונקציה שפועלת בתוך מרחב וקטורי – מבנה מתמטי מסוים, שלוקחת וקטור – אובייקט שנמצא בתוך המרחב ומעבירה אותו לווקטור אחר. מבט כללי על מטריצה לא יאפשר לנו בדרך כלל להבין מה בדיוק ההעתקה שאותה המטריצה הזו מייצגת, ובדיוק בגלל זה יש חשיבות לצורת ז’ורדן.

מהו משפט ז’ורדן

צורת ז’ורדן היא מטריצה שמתקבלת לאחר סט פעולות על המטריצה המקורית. לאחר שנעביר את המטריצה להיות בצורה של ז’ורדן יהיה קל יותר להבין מה בדיוק ההעתקה הלינארית שאותה המטריצה המקורית הגדירה. חשוב להבין שכל הפעולות שנבצע על המטריצה על מנת להגיע למטריצה שנמצאת בצורות זורדן לא ישנו את ההעתקה שאותה המטריצה מייצגת, כך שמהבחינה הזו אפשר להיות רגועים.

למה זה חשוב

מעבר להבנה של ההעתקה אותה המטריצה מייצגת, ברגע שיש לנו מטריצה בז’ורדן החשובים בעזרתה הופכים להיות הרבה יותר יעילים. בעולם שבו כל פעולות החישוב הללו נעשות במחשבים, ליעילות יש חשיבות רבה, וברגע שאנחנו מקבלים מטריצה בצורת ז’ורדן אפשר להפוך פעולות רבת במחשב להיות הרבה יותר מהירות. העובדה שכדי לקבל ממטריצה כלשהי את המטריצה בצורת JORDAN שדומה לה – קרי מייצגת את אותה העתקה לינארית צריך לבצע סט פעולות שמוגדרות היטב וניתנות לביצוע על ידי מחשב, הופכות את כל התהליך הזה להיות הרבה יותר פשוט ומאפשרות לנו לבצע חישובים די מורכבים באופן מהיר.

כמו עוד מושגים אחרים שקשורים לתחום של קורס אלגברה לינארית הן אבני הבניין של המתמטיקה באקדמיה. לא משנה מה התחום המדעי שאותו אתם הולכים ללמוד, מדובר על מושגים שאתם הולכים להיתקל בהם. כדי להגיע מוכנים יותר, כל מה שאתם צריכים לעשות זה לקחת קורס הכנה במתמטיקה של הדרך אל התואר שיעזור לכם להבין היטב את המושגים הללו.